We can infer another key advantage of Markov Models from this example. To express the probabilities of all possible states for any length of Markov Chain, we only need s^2 numbers stored, with ‘s’ representing the number of possible states.
MMWWWMMMMW&KKMWM MMMMMM&K WWW K MWWK KK&MWWWWWWKK &M& &WWMM&&&M&K
K&&&MWWWWWWMK&K&MW WWWMM&KK WWWWK WWW& KK&MWWWWWMK &WW& WWWWWWWM&&K
KKK&&MWWW&W WWWMM&K MWWWWW KWWWWM & K&&MMMK&& KMW& MWWWWWWM&KK
K&&MWMMWMMWMK K&MWWM&K KWWWWWWWWWWWM WWWWWW & KK&&&MM& MKMWWWWMKK
KK KKKK&&&MWWMMMWMWM&&MM&&K WWWWWWWWWWWM &M&MK K&M&MMMWW &MMKMMMM&
KKKKKK&KKWM& KMKKK & WWWWWWWM& K& KK&K&K K&&MMK
KKKK&&MM&K &K K M&K M WWWWW& KKKM& KWWW& &MK&M&K
KK&&&&&&MM KK K&&K && MM KKK&&MK &MWW&K K
K&KK&&&&& K KK W&K K W KKMM&&K MMWM&&K
KKK&M&&MMWM&&MMM&K &WM K W& KM&MMMM &&WW&&&K
&MMWWWWWWMMM& WW& KWW K&MWWWWWWWMMMMM&&&&
&&MWMWMM& WW WM KMWWWWWMMMM& K
& K WWM MWW K&MMMM&K
M&K WWWW&K &WWWWK &W &K
MW &MMKK&&KK KKK KWWWWMM &WM
WWWWMWWMM&&&KK & WWWWWWMMMMK &WWWM
WWWWWWWMMMWWWWWWWW&WWW MWWWWWWW&WWWWMMMMWWWWWM
WWWWWWWWM&WWMWM&&WWWWW WWWWWWWW&MWM&WWWWWWW
MWWWWWWWWW&&MKMWWWWWWW WWWWWWWWW&MWWWWWWWMW
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW KWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
WWWWWWWWW WWWWWWWWW& WWWWWWWW &WWWWWWWWK
WWWWWWW WWWWWWWWW KWWWWWWW WWWWWWWWK
MWWWWWW WWWWWWWW KWWWWWWW WWWWWWW
K&&&&& KKK&K WWWWWWM W&WWWWWK
WWWWWWWW W WWWWWWW
W KK W M K KM W & K&K M W WW W M WWWWWWW&W WWWWW
W W W &W W WWWW W& W KWW& W WK M W&W WW W WWWWWWWW WMW W
W WWWWWWW WWWW&
WWWWWWW WWWW
& & K K K W M & W MK KK KM W WK K KK W K K& WWWWWW WWWK
W W W W M W WW W W W WKM MM W MM W W&MM W W W WW WM &W W MW&K W &WWWWW WWW
& & K KK & K K K &K K K && WWWWW WWK
WWWWK WW
WK W MM MWWWW WK
W &W W &MM W&WK&&K M W MW W W W W WW&KW&WKW WW WW MKW WW MWWWW W
KK M M M& KK K & M M K W K W KM KW MWWWW K ..........: :.. , . , : : :, . ,,,,. . : , :::::::, ,,,
. ........ ., : :. , ,. . ,. , ., , ::,::::, :,,
............ : :. . , : ,,. . , :::,,,, ,,,
.. ........., :, : : : .:, . .,:::::: .,,
.. ..,,.,,:::: . . , . , . . . , ,, :. . ..,: :::, ::,
...,..,:::::: ,, . :: . , . . : . . : . .. .. . : :: ::,
,,,,:,.,::: :,. . : .: : :: . : : ..,.. . ... : ::,
::::::::,,: , : , . .: , , , ::::: : : . , . , .: :, ,. :
:: : : : , : ,: :::::::,: :: :. ::
: , : ,. , ., :::::::,,:::: : :: . , ,, . .,
: , , . . , ,. : ,,: :::,::::: : : , . , :, . .
:. . . : ,:::::,:::::::: :,. , . . :. :
: .... . . : . ..... , : ,. . . .. ,..
, :, . : : . : ,. : ., :. : :,. .,, , ..
. , . ,, , , :: . .. : . , :.
....: , , .. . : :: : . , : : .: : : ,.. , :
, ,: , .. . . , , :, . . ,:, , . .,
:: : ,: .. . ... : : , , : . . :. ,.
. . : , : ..,, . ., : :., : : ., .., . ..
,.., ,. , ,: : . .: : , . .,: :..
:.: . ::. .., . .: ,: . ,. . .: ,
,: . , . :,. ., :. : : :........:.,: .. ., : . , .. .. .,:
:.: ,. , : .: . :: , ,,., : :, . , : : . . .: : ,: :,.
: , .,, . , . , : :: ,,: .: . , ..,, ,
: , . : : :: : . :,: , ::: , :., . . :. : ::. , :. : :.,.,::.
, :,,.. . ,, , .., : : : . :: ,::, : ,: .: :,. ., ..,:, :. ,.
: , :. . . , :::. . :, : : : .:: ::,,,,, ., .. : : ,:,,: : ,, , .,
, ,:,,. . . . . ,. . . ,:,, .,,, :::,,: :,, ,: . : , : ::::. .. .. : : :::
: ,, , , . , :,: ::, .: :,,,.. . .: , : :: , : ., :: :: :,,::
: : :: . . : , . ::::: , ,::.: :: . .. .: ::::,, .,: .. : : ,, :,
:: ::.: , ::,::,, :::,. : ...::. , , :,:, . : ::: . ,, .:,:
:::::,: : , : , : : . , : . ,::::.: : ::. :: ::: . : : :: :::, ,,: .: ,
:::::, : . : :,,.,. ::,, ::::::, : . .:: :::: ::: , ::,.: : : :. ,
::,:,: ,. , . . . ,..,: ::.. . :::::,,,: : ::: ... : , ::
: ,,,. : ::: . ,: ,: :: .: :::::,: .::::,: : ,: : : . ,,:: ::
:: :. : :: , ,,::::,:: ,, :.: ::. ::,::: :::,,: ,, , .:::::: ** * ~~~~ ~ ~~ * }* < ~
}} < } ~~~~~~ } } ~ } }
* *} }} <} } * * } *
} }* < } *< * } *
}}< ~ <~ << <* < *~ <<
~<}*~ ** } } ~ ~ < * <<~~~~<<<~~~< * < } } ~~ ~
~~~*~*~ <~ }<} }} < }< * ~ ~~~~~~~~~~~~~ < ~ <} * }<~ *<~~
~~<<< *~~ < < < } ~* < } ~ ~~~~~ ~ ~~~~< * }} *} <<< ~<~< <~~
~~~~~<<<<~ ~<~* <* ~ } }} < * < < ~~ ~~~~~~~~ ~ * * ~ } < } ~*} ~<<<~ <~<
<~~<<<<***<<~ << * * } * ~*~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ** <*} *<**~ *<*
***************~* ~ } * ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~ } ~ }< < ~} }* }<***< **<
****}}}}}*****}* * }} < } }~ *~* } ~ < *< <} ~ * } ~}} }}*}}}* *<<
***}}}}}}}****** ~< }* }< <~*}< < ~<~ ~< } }< ~*}* } *}}}* }**
}}}}}}}}}***}**}*< *} }*< << * }~~<~ } ~<**}~ <*< ~~ * *< } * *~}* ***
}}}}}}}}}}}}}< <} <~~~ }}*} *}* * * }*<<<< * *<~<* }} }}}}} < } < * } *}}<* ***
} }}}}} } }}}} ** ~ ~ ~ }} ****< < <~< }**}*}}} } *} ~* } *** ~< }} ~*} **}** ***
}}} } }}~ ~ ~} *~ ~***<* ~~< }} * * *}* ~ ~ * *}} }}}
}} ~ * } ~< < < ~}}}}*~ ***** <<* }~ ~} }<< ~<< < ~} * ~}} }}
*}}~**}}} <~ }** * <* **** *~* }} * }}} < }*}< ~* ~ } }* }}
}* } * ~< * ~ } } }**} ~*~* *}}*}}}}}}<< < *< * * }} }}
} }*}*<*<< }<~ ** < ~<} } <}} ~*** <*}<}}}*}**~ *** ~ * ~ }}
*}}*}*<}*~ *~ * < * ~~<* *}<* *~~* *}****<< } }~* ~~* ~ *}}
<*}<}*<<* < }* }} ~~ } } *<~*<**<*~<< <~ ~ <<} <}< < ~ ~ }}~ }*
<** ****< *~ <*<<}*< } }}}* *~ < <<<*<<< ~ *}*} <~~} *< < ~~ *< }
~<* <****< < *~ ~~~~ } ~<~ < * < < }* }}}* * * ~<**<<~ ~ ***}*< * < ~ ~ * }}*}
~~< ~<<<~~ <~ } }~ } <* } ~ ***<< < ~ * ~~<<~~ ~<}*< < }<~}< ~~ ~ <}} < **~*
~<< ~~<<*~~ << << < * * ~~* ~ } ~ ~ < ~~~~ ~ ~ }}} } * ~~ < *} < * <<~~*
~~<< ~< < } <} } ~* } } * * } < ~<* ~~ ~~~ <<* *< ~ <**} ~ ~<}}< *} * <*~* << ~
~~ ~ < ~ *<**** ~ *< * * ~ * <~ ~ ~<~ < <*** * ~ ~ ~ ~ <* ~
~ ~ < } } < }* * < <~~} ~ ~<<~ ~ ~ ~ ~<*****}* ~ ~ <} } <* ~ ~**}
~ * <} < } } } < } **} ~ ~<~~ ~~<< < < }***}< ~~~ ~ ~ ~}<} ** <*}}}
}*} * * } } }< * * }}*< < ~<<< ~ ~~~ ~ ~ }* *}} ~ ~~ ~~ ~ << **~ ** ~~~***<
~ ~*** ** < <~~<<<< ~~~~ ~*}* ** ~~ ~~~~ ~ ~~ ~~< ~
~<<~<<~ ~ < ~ <<}} * }}<} } < } } ~ * ~ * **< *} <~ <~<~<<<~~~ ~~~~ *}**}} } ~ ~~ ~~~~~~~< <<~~ ~~ <*}
~ ~ ~ ~ < ~ ~ < } < < } ~~<<* <<~ <~~~~~<~~~ ~~~ ~~ * }*} * ~~~~~ ~< ~<<*} ~ ~~
~ < ~~ < } ~* < * < < ~ ~~~~~~<~~ ~~~~~ ~ * }* ~ ~~~~~~~~ <<~~~<<*~~ ~~~ j V UU Uo jo V U oV V jV U VU V
o UV Uo j U U j jVU U UU V
jVUU UV Vj UV Vj j U Uj oVU UV VU o
j VU joVUUUU U UVV U o joVVU Vj oo jj Uj
joVU UUVj j jojV jVVUUUU UVUU UUo
UVVU Uoj j jV UUV U o oVoV U V UUU VjjjooUUU UUUUUV
VU V Uo U UV V o V jVU Uj VU Uoj UV j VV
j VU VoVV UVjV UU V o o U Vo joV V oVUj oo jjU Uo
j oUU Ujj j V U UUj j o oo j jVU j V VjVVVUUVo U o o
oU UUU UU jUjo VU UojjjoU o jj
j joUUU oVo j U j oV V j
j Uj jooVoV Uj V U joV UU U j
oV VooooooooVVU Uoj V o V V joUj jjoV ooVo o
oU UUVoooooooojj o U VooooVU j U jjooooVVVojjooj j jjj
U Vooooj j j j U UUVj j j UoooooooVVooj j V jj jo
j j j o UVVoVUU j jj ooj VoooooVU o
jjjj jj jjjj V oj jj jjjjjjjj j o joj
jjjj jj jjo ojjojjjoojjj Vo V U oo j
jjjjj o j jjjj j o j
jojo joj j j jj o V jooo j
j oo j o j j j o U j j j
jj V V j jj jVj joooo
j V jjjjj j oj V jj jjj
V UUV jj j U V jjj
j jo j jj U j
VUV o jU j VU o oU V o V Uj jj
V j V o V o o jo V j j U jj
oVj jj o Uj j j jj o o U oo j VVo j j jo
j jo j
j j U U o U UVjU o jV U VU V VV VUoj V U o
U U o UU o VV U oU U o UV o V V o U j jj
o o U V o j V UUoooV VU o o UV UU U j U oo U U jjj
j jjo
V o o j o j o j j j jj o V jj
UV o o V Voo j V j j U o oU jj
o jU UjVVo Uo V U oj U jUojj U U V jjj oU j WWWW&MKWWW& WW &W KWWWMMW&WWWM
&&MWWWMKWW& WWWWM WWW KMW& KWWWK
MMMMK K M& KWWK &MM MK MM&
&MWMK &M W & MW& WW&
MWWW M K KWWWWM&
KMK K W&
WWWWWM&W WWWM&KMWW
WWWWWWWW KWWWWWWWK
MWWW WWWW WWWM WWWW
M& &K KWWW WWW
& &W& M&K&W WK MWW WWWM WWM
WWW KW
W &&KK &M K M M K K &MKW KWW KW
& K WWK &
W
W&M&WKW W W&M W MM&&WW MWW KWWKM W
M
W W
K K
K K
&WWWW WWWWWK
WWWWWWW WWWWWWW
MMWWWWWW &M&WWWWWM
KKKKWWWKK& WWK &
K KWWK WMMMWMMK K
&WWWWMWMWWWM WWWW&WKWWWWM ,,. , : . ,,
.,:, .. : :
:: : , . .:
. , :: : , ,
: :: :,:.,,:,. .
., :: , : ,.:: , ,: :
:: : , ,
, : : , , .
, ,,,,, :: ,:, . :, ,
., : ,, : . , , :
, :: : , : ,: :
: , . : , . : ::
: : :
: , : : . , :
: :
, : ,
. . , .
, : ::, : :: . , .. : :: :: : :: . :
...,,,:.,,, ,,..... .....,,,,,.. ,,.:,,,.,: :,.........,,.,,:,,..
.....,,,., ,.. .,,,. ..,,.,:::,. ,.,,..,,.: . ., ,.. .,,.,:,:,,
......,,... ,. : ,..,,::::: ,.,,.:,,.. . , : ,.,.,,,,, :
,.,...,,,. : :,:,:::, , ,......,.. . , ,,,,::: ,
..,,,,.,... : . :::,:: , ........., , , :,,,,.
...,,..,: :: :,:,, , ....... ::,:. ,
......: ::: ,::, . . ..,.., ,., :,,.. ,
..., ,,:: :::,, , , ,..: . .:,:,, ,
.. ... : , , ... ., : ::,: ,
,,,, :: : .: : : :::, ::: : ~< < *<* * } <~~ ~
} * * } * * < << ~
~ ~<*}~ <* ~*} ~***< } ~ } <* <
<<**<<*} } <<~<<*< ~ ~ } <} }
}} }}}<} } < < ~ } } ~ } ~}
}} ~~ *< } } }<< ~ ~* }
< ~ < <** < * } <* ~ <}<}
}~ *< }*<}~* * < < * ~<
}**~ < ~}*<} }}}}~ *
**}< <}~ *<**~~ } ~ << }
<<*}< * * ~ }* <~<*~ < ~*~ }* <~<* <~<< <*
<<~ * * } }< } } * *~~*~ ~* } < }~<*~~*
<< <~~*<~<*<~ } <<~<<<~}<* <}*
<~< * } * } } * < < * <**<~*<<< ~****< ~<* ~ ~*
<~<*} * }* * ~<* * <<< * ****~**< <*} * <**}< ~<<*
<~<*} * **}~ } ****<~** * }<<< ~****
*<<*} }* * ~*}}~ *~*****<** * }~ }**< <*<*}
~ ~~~~~ * ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ * } ~ ~~ ~~~ <
<
<
<*< *
~}} } <*~ ~ *< }}~
< * * } * *} } * } *}~
<} * }*}~ }* }*~ * ~
~}} < ~ * * ~* *}< } < <
< <} *} *~ } ~~~*} } *
~*~ ~ < < << <
~*~ } }* ~ ~ ** ~
~*< } ~ ~**~ * ~ V j o j
UV V o UU UV
V o jU j Uo jV V o
o UU V j U oo j UVoU j
j jVU V V o o U o j jj
jjjjj UVoo j UUVVVUUU o ooVUojjo oj
jjjjjj U U o jjjj j V j o
oo jj U j ojoj j o j
j o V j jj oo
U V o jo j j j
V o oU
j j j j j
oU V U oU o U VjUU U j j oj
o o o o o ojVU o Ujo V jVV o
ojjjj jU o jj o jV oV U
V U U U
V U
ojj oo
o U
V j U
VU
j jj j
j j jV j
V U j
U o o j V U j jo
j jU o j
ojoU VU
oV o U j oo
o